Derivada

El cálculo diferencial es una poderosa herramienta matemática para analizar el cambio en las cosas las asas de esa herramienta son algunas reglas sencillas para calcular derivadas.

Uno de los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral es la derivada de una función.

En general, la ciencia tuvo un gran impulso en su desarrollo por la necesidad de entender nuestro entorno. Los problemas que propiciaron el concepto de derivadas fueron:

• Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto dado.

• El teorema de los extremos: máximos y mínimos.

• Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

• Dada la ley del movimiento de una partícula a lo largo de una recta, esto es, si s=f (t) es la ecuación que dada la posición de la partícula sobre la recta en cada instante “t”, determinar la velocidad de la partícula en el instante “t”.

Al inicio, las definiciones no tenían precisión. En 1629, Pierre de Fermat hace un trabajo inicial de calcular la recta tangente en punto arbitrario de una curva, en 1638 Fermat compartió su descubrimiento con su compatriota René  descartes quien tenía su propio método para hallar tangentes a curvas algebraicas; muchas de estas ideas matemáticas sobre todo las de Fermat fueron desarrolladas posteriormente por el filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Von Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton según un método general y sistemático de análisis matemático, el cálculo diferencial,  encontrando una manera de construir tangentes a una parábola, y que contenía implícitamente la idea de derivada. Más tarde se ve que los dos problemas tenían algo en común y que la idea general para resolverlos llevaría a la noción de derivadas de una función en u punto.

Definición:

Consideremos una función real de variable real uniforme y continua y = f(x), si "x" pertenece al dominio de la función entonces la derivada de la función “f” con respecto a “x”  definiremos  por la expresión:

Siempre que dicho límite exista.

Interpretación Geométrica De La Derivada:

Consideremos una curva C: y=f(x) y un punto fijo Po(xo,yo) e dicha curva, sea LS la recta secante que pasa por y por Po(xo,yo) el punto M(x,y) pertenece a C.

  

La pendiente de la recta secante LS que pasa por los puntos Po y M es:

Si hacemos que el punto M(x,y) se aproxime al punto Po(xo,yo), resulta que la variable "x" se aproxime a "xo" de tal manera que se aproxime a cero, con lo cual se está haciendo uso del concepto de límites.

Cuando la recta secante se superponga sobre la recata tangente, hará  que el ángulo “α” llegue  a  coincidir con el ángulo “θ”. Donde la pendiente  de la recta secante mls sera igual a la pendiente de la recta tangente mlt.

Entonces la nueva pendiente es como sigue:

Esta ecuación tiende a convertirse en:

puedes descargar el formulario:

Cálculo Diferencial.pdf 

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